\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{10}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\angstrom}{\mathring{\text{A}}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents
  \section{Рассеяние электронов поверхностью металла.}
  В начале 20-х годов в лаборатории Дэвиссона в США производились исследования
  углового распределения электронов, рассеянных и отраженных поверхностью
  металлов. На поверхность исследуемой мишени \(\text{\textit{М}}\)
  (рис.~\ref{fig:fig142}) из электронной пушки \(\text{\textit{П}}\) падал пучок
  электронов; фарадеев цилиндр \(\text{\textit{Ф}}\), служивший коллектором,
  передвигали и в разных положениях его от измеряли потоки электронов, идущие от
  мишени под разными углами \(\alpha\).

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig142.jpg}
    \caption{\label{fig:fig142} Установка для исследования углового распределения
    отражённых электронов.}
  \end{figure}

  Прикладывая между внешним охранным электродом \(\text{\textit{Э}}_1\)
  коллектора \(\text{\textit{Ф}}\) и внутренним измерительным электродом
  \(\text{\textit{Э}}_2\) разность потенциалов, задерживающую электроны, близкую
  к ускоряющей разности потенциалов в пушке \(\text{\textit{П}}\), можно было
  измерять поток электронов лишь с энергиями, близкими к энергиям первичных
  электронов. Будем называть их ,,отраженными'' электронами. Результаты
  измерений представлялись в виде ,,полярной диаграммы'': по полупрямым,
  проведенным в различных направлениях по отношению к отражающей поверхности,
  откладывались отрезки, длины которых были пропорциональны числу отраженных
  электронов, идущих от мишени в этих направлениях (рис.~\ref{fig:fig143}).
  Исследователи полагали, что отражение электронов пучка является результатом
  отклонений их при движении в электрическом поле атомов мишени, и поэтому
  закономерности в угловом распределении отраженных электронов должны были быть
  связаны с характером этих полей атомов. Казалось поэтому, что из вида полярных
  диаграмм можно будет сделать некоторые выводы об электрических полях в атомах
  аналогично тому, как угловое распределение рассеянных \(\alpha\)-частиц дало
  возможность судить о характере отклоняющего их поля ядра атома. Опыты
  обнаружили, однако, что полярные диаграммы для мишени из данного вещества
  существенно изменяются при ее перекристаллизации. Оказалось, что отражение
  электронов не определяется только характером электрического поля в атомах
  мишени, но существенно зависит от расположения этих атомов в кристаллической
  решетке мишени подобно тому, как это имеет место при отражении рентгеновских
  лучей. Это обстоятельство дало основание Эльзассеру выдвинуть объяснение
  закономерностей отражения электронов на основе представления о так называемых
  ,,волнах де-Бройля''.

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig143.jpg}
    \caption{\label{fig:fig143} ,,Полярная диаграмма'' отражённых электронов.}
  \end{figure}

  \section{Проверка закона де-Бройля. Дифракция электронов.}
  В 1924~г. французский физик де-Бройль высказал идею о том, что закономерности
  движения потоков частиц могут быть получены из рассмотрения законов
  распространения волн, соответствующих этим движущимся частицам. Длины волн для
  частиц массы \(m\), движущихся со скоростью \(v\), по де-Броялю, равны
  \begin{equation}\label{eq:debroille}
    \lambda = \frac{h}{mv},
  \end{equation}
  где \(h\) - постоянная Планка, а направление распространения волн совпадает с
  направлением движения частиц. По Эльзассеру, в закономерностях отражения
  электронов от кристаллов и проявляются закономерности дифракции волн
  де-Бройля, соответствующих потоку падающих на мишень электронов, на ее
  кристаллической решетке.

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig144.jpg}
    \caption{\label{fig:fig144} Грань (111) куба.}
  \end{figure}

  Количественная проверка этого объяснения была осуществлена в опытах Дэвиссона
  и Джермера (1927~г.). Первый из этих опытов был аналогичен опыту Лауэ для
  рентгеновских лучей.  В лекции 9 показано, что при падении пучка рентгеновских
  лучей на определенную грань кристалла под определенным углом, в результате
  интерференции вторичных волн, распространение рассеянных лучей будет
  наблюдаться лишь в некоторых дискретных направлениях и лишь для определенной
  длины волны в каждом направлении распространения. Например, кристалл никеля,
  решетка которого представляет гране центрированный куб, имеет грань (111),
  представляющую собой диагональный срез куба (рис. \ref{fig:fig144}).
  Расположение атомов на этой грани обладает симметрией относительно трех осей,
  образующих углы по \(120^\circ\) друг с другом (трехкратная симметрия). При
  падении первичного пучка лучей по нормали к этой грани, как показывает теория,
  подобная изложенной в лекции 9, распространение отраженных рентгеновских лучей
  должно происходить в шести направлениях, лежащих в трех плоскостях, проходящих
  через оси симметрии грани (111) и нормаль к поверхности грани; в трех
  направлениях, образующих углы по \(50^\circ\) с нормалью, должны
  распространяться лишь лучи, с длиной волны \(\lambda_{50} = 1,67~\angstrom\),
  а в трех направлениях, образующих углы \(44^\circ\) с нормалью, --- лишь лучи
  с длиной волны \(\lambda_{44} = 1,52~\angstrom\) (рис.~\ref{fig:fig145}). Если
  гипотеза де-Бройля правильна, то и отражение нормально-падающего пучка
  электронов от этой грани должно происходить и тех же дискретных направлениях и
  лишь при тех скоростях электронов, которым по \eqref{eq:debroille}
  соответствуют длины волн де-Бройля, равные \(1,67~\angstrom\) и
  \(1,52~\angstrom\).

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig145.jpg}
    \caption{\label{fig:fig145} Отражение лучей от грани монокристалла.}
  \end{figure}

  Скорость электронов \(v\) (если \(v \ll c\) где \(c\) -- скорость света)
  определяется пройденной разностью потенциалов \(V\), т. е. \(v =
  \sqrt{\frac{2e}{m}V}\).  Поэтому по \eqref{eq:debroille} соответствующая
  электронам длина волны выразится через ускорившую их разность потенциалов
  уравнением
  \begin{equation}\label{eq:wavelen}
    \lambda = \frac{h}{2meV}.
  \end{equation}
  Подставляя сюда численные значения \(h\), \(m\) и \(e\), выражая
  \(\lambda\) в ангстремах, а \(V\) --- в вольтах, получим
  \begin{equation}\label{eq:wavelencount}
    \lambda = \frac{12,25}{\sqrt{V}} \angstrom.
  \end{equation}
  Вычисляя отсюда значение V, соответствующее длине волны \(\lambda =
  1,67~\angstrom\), получим \(V_{\lambda = 1,67} = 54~\text{В}\); для \(\lambda
  = 1,52~\angstrom\) найдем \(V_{\lambda = 1.54} = 65~\text{В}\).

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig146.jpg}
    \caption{\label{fig:fig146} Полярные диаграммы отражения электронов пучка.}
  \end{figure}

  Дэвиссон и Джермер построили полярные диаграммы для отражения электронов
  пучка, падавшего нормально на срез монокристалла никеля по грани (111), в
  полуплоскости \(\text{\textit{П}}_1\), изображенной на рис.~\ref{fig:fig145}.
  Результаты измерений для четырех значений \(V\) схематически представлены на
  рис.~\ref{fig:fig146}.  Можно видеть, что на фоне не-упруго рассеянных
  электронов в направлении, соответствующем углу \(50^\circ\), имеется максимум
  (,,пик'') электронов, идущих от мишени; этот пик и создан потоком электронов,
  испытавших дифракцию на кристалле. Наиболее отчетливо он проявляется как раз
  при \(V = 54~\text{В}\). По другую сторону от первичного пучка в плоскости
  \(\text{\textit{П}}_1\) (рис.~\ref{fig:fig145}) имелся пик отраженных
  электронов при угле \(44^\circ\), наиболее отчетливый при \(V = 65~\text{В}\).
  Если кристалл поворачивать вокруг перпендикуляра к грани (111), то лики
  появляются лишь при таких его положениях, когда приемник электронов
  оказывается лежащим в плоскости \(\text{\textit{П}}_1\) и еще в двух подобных
  ей плоскостях.

  Таким образом, было доказано существование дискретных направлений отражения
  электронов и лишь при определенных для каждого направления скоростях,
  совершенно аналогичное наличию лишь дискретных направлений интерференционного
  усиления для определенных длин волн рентгеновских лучей в опыте Лауэ. Различие
  состоит только в том, что Фридрих и Книппинг наблюдали дифракционную картину в
  пучках, идущих в ту же сторону, что и первичный пучок (,,на просвет''), а
  Дэвиссон и Джермер --- в сторону, обратную первичному пучку (,,на
  отражение''). Большая ширина дифракционных максимумов для электронов по
  сравнению с этой же величиной для рентгеновских лучей, а также наличие
  отражения в некотором диапазоне скоростей (т. е. в некотором диапазоне длин
  волн де-Бройля) легко объясняется тем, что электроны сильнее поглощаются
  кристаллом, чем рентгеновские лучи. Поэтому в интерференции участвует меньшее
  число вторичных волн, отраженных лишь от небольшого числа плоскостей,
  заполненных атомами, расположенных вблизи поверхности кристалла. При этом, так
  же как в оптической дифракционной решетке с малым числом штрихов, максимумы
  должны быть шире, и разрешающая сила меньше. Если опыты Лауэ доказали наличие
  волновых свойств у рентгеновских лучей, то с совершенно той же убедительностью
  опыт Дэвиссона и Джермера доказал наличие этих свойств и у потока электронов.
  Этот опыт подтвердил также и формулу \eqref{eq:debroille} для длины волны
  де-Бройля.

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig147.jpg}
    \caption{\label{fig:fig147} Схема установки второго опыта Дэвиссона ---
    Джермера.}
  \end{figure}

  Второй опыт Дэвиссона и Джермера был аналогом опыта Вульфа --- Брэгга. Поток
  электронов из пушки \(\text{\textit{П}}\) (рис.~\ref{fig:fig147}) падал на
  кристалл \(\text{\textit{М}}\) под некоторым углом \(\varphi\); гальванометр
  \(\text{\textit{Г}}\) в цепи коллектора \(\text{\textit{Ф}}\) измерял ток
  \(i\) электронов, идущий от кристалла в направлении зеркального отражения.
  Отражение пучка электронов, по де-Бройлю, должно иметь место лишь в том
  случае, если угол \(\varphi\), межплоскостное расстояние \(d\) в кристалле и
  длина волны де-Бройля \(\lambda\) удовлетворяют условию Вульфа --- Брэгга. Это
  условие и уравнение \eqref{eq:wavelencount} приводят к равенству, позволяющему
  определить те значения ускоряющей электроны разности потенциалов \(V_n\), при
  которых должно наблюдаться зеркальное отражение \(n\)-го порядка при угле
  \(\varphi\):
  \begin{equation}\label{eq:sqrtVn}
    \sqrt{V_n} = \frac{h}{2d\sin\varphi \sqrt{2em}} = Bn.
  \end{equation}

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[height=5cm]{fig148.jpg}
    \caption{\label{fig:fig148} Зависимость интенсивности отражённых
    пучков от \(\sqrt{V}\).}
  \end{figure}

  Результаты измерений зависимости тока \(i\) на коллектор \(\text{\textit{Ф}}\)
  от корня квадратного из ускоряющей разности потенциалов \(\sqrt{V}\)
  изображены на рис.~\ref{fig:fig148}. Над кривой стрелками показаны те значения
  \(\sqrt{V_n}\),  при которых должно иметь место отражение по
  \eqref{eq:sqrtVn}. Можно видеть, что при \(n \ge \sim 6\) максимумы тока,
  соответствующие максимумам отражения электронов, расположены на равных
  расстояниях в шкале \(\sqrt{V}\) при значениях, определяемых по
  \eqref{eq:sqrtVn}. Для максимумов с \(n < \sim 6\) наблюдается сдвиг их в
  сторону значений \(\sqrt{V}\) меньших, чем следует из \eqref{eq:sqrtVn}. Этому
  сдвигу было дано следующее объяснение. Скорость \(v_i\) электрона внутри
  кристалла определяется не только пройденной им внешней разностью потенциалов
  \(V\), но и ускоряющим электроны силовым полем на границе кристалла,
  удерживающим электроны внутри его. Наличие этого поля эквивалентно
  дополнительной разности потенциалов \(V_{\text{доп.}}\), т. е.
  \begin{equation}\label{eq:additionalV}
    v_i = \sqrt{\frac{2e}{m}(V + V_{\text{доп.}})}.
  \end{equation}

  Поэтому и длина волны \(\lambda_i\) внутри кристалла, вместо
  \eqref{eq:wavelen}, выразится формулой:
  \begin{equation}\label{eq:wavelen2}
    \lambda_i = \frac{h}{\sqrt{2me(V + V_{\text{доп.}})}},
  \end{equation}
  а условие Вульфа --- Брегга и формула \eqref{eq:wavelen2} дадут
  \begin{equation*}\label{eq:VBn}
    \sqrt{V + V_{\text{доп.}}} = Bn,
  \end{equation*}
  откуда
  \begin{equation*}\label{eq:finalVn}
    V_n = B^2n^2 - V_{\text{доп.}} = B^2n^2\left(1 -
    \frac{V_{\text{доп.}}}{B^2n^2} \right)
  \end{equation*}
  или
  \begin{equation}\label{eq:finalSqrtVn}
    \sqrt{V_n} = Bn\sqrt{1 - \frac{V_{\text{доп.}}}{B^2n^2}}.
  \end{equation}

  При достаточно больших \(n\) второй член под корнем мал по сравнению с
  единицей, и \eqref{eq:finalSqrtVn} переходит в \eqref{eq:sqrtVn}; но при малых
  значениях \(n\) подкоренное выражение становится несколько меньше единицы, и
  \(\sqrt{V_n}\) по \eqref{eq:finalSqrtVn} делается заметно меньше, чем по
  \eqref{eq:sqrtVn}, что и объясняет сдвиги максимумов отражения малых порядков
  в сторону меньших значений \(\sqrt{V}\).  Из измеренных на опыте сдвигов по
  \eqref{eq:finalSqrtVn} можно вычислить внутренние потенциалы кристаллов
  \(V_{\text{доп.}}\); для металлов они оказались больше, чем работы выхода,
  измеренные по фотоэффекту или из термоэлектронной эмиссии (\(V_{\text{доп.}}
  \sim 10 \div 15~\text{В}\)).

  В 1928~г. П. С. Тартаковским в СССР и Дж. Дж. Томсоном в Англии для  пучков
  быстрых электронов (\(V \sim 10^4~\text{эВ}\)) были получены от
  поликристаллических слоев в электронных лучах и картины Дебая --- Шеррера.

  Итак, все те опыты с рентгеновскими лучами, которые приводили к выводу о
  волновой природе их, дают и для лучей электронных результаты, совпадающие с
  результатами для рентгеновских лучей. Следовательно, эти результаты с той же
  достоверностью указывают на волновую природу электронов, а также подтверждают
  формулу де-Бройля \eqref{eq:debroille} для них. Проблема ,,дуализма''
  (двойственности), возникшая при рассмотрении природы света, распространилась,
  таким образом, на электроны. 
  
\begin{quickliterature}
  \item Л.\,Н.~Добрецов, Атомная физика, \textsection 34. Дифракиця электронов.
\end{quickliterature}
\end{document}
